设圆M：x2+y2=8，将曲线上每一点的纵坐标压缩到原来的[1/2]，对应的横坐标不变，得到曲线C．经过点M（2，1），
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解题思路：（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），则点（x，2y）在圆x2+y2=8上．所以有x2+（2y）2=8．整理后就得到曲线C的方程．
（2）由题设条件可知直线l的方程为
y＝
1
2
x+m
．联立方程组后根据直线l与椭圆交于A、B两个不同点可知△＞0，由此能够推导出m的取值范围．
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可．
（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），则点（x，2y）在圆x2+y2=8上．所以有x2+（2y）2=8．整理得曲线C的方程为
x2
8+
y2
2＝1．
它表示一个焦点在x轴上的椭圆．
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，又KOM＝
1
2，
∴直线l的方程为y＝
1
2x+m．
由
y＝
1
2x+m
x2
8+
y2
2＝1.∴x2+2mx+2m2−4＝0，
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴△=（2m）2-4（2m2-4）＞0，
解得-2＜m＜2且m≠0．∴m的取值范围是-2＜m＜0或0＜m＜2．
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2），则k1＝
y1−1
x1−2，k2＝
y2−1
x2−2，由x2+2mx+2m2-4=0可得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4.k1+k2＝
y1−1
x1−2，+
y2−1
x2−2＝
(y1−1)(x2−2)+(y2−1)(x1−2)
(x1−2)(x2−2)=
(
点评：
本题考点： 椭圆的应用；椭圆的标准方程．
考点点评： 本题综合考查椭圆和直线的位置关系，难度较大，解题时要注意公式的灵活运用，仔细审题，避免不必要的错误．
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