(2010•上海模拟)已知f(x)在x∈[a,b]上的最大值为M,最小值为m,给出下列五个命题:
①若对任何x∈[a,b]都有p≤f(x),则p的取值范围是(-∞,m];
②若对任何x∈[a,b]都有p≤f(x),则p的取值范围是(-∞,M];
③若关于x的方程p=f(x)在区间[a,b]上有解,则p的取值范围是[m,M];
④若关于x的不等式p≤f(x)在区间[a,b]上有解,则p的取值范围是(-∞,m];
⑤若关于x的不等式p≤f(x)在区间[a,b]上有解,则p的取值范围是(-∞,M];
其中正确命题的个数为( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
解题思路:这是一个对不等式恒成立,方程或不等式解集非空的理解,概念题.对各个选项分别加以判断,发现在①②中,得出①正确②错误,④⑤中得出⑤正确④错误,而不难发现③是一个真命题,由此可得正确答案.
对任何x∈[a,b]都有p≤f(x),说明p≤f(x)的最小值,
结合题意知p≤m,①是正确的;
由于①正确,所以②是一个错误的理解,就不正确了;
关于x的方程p=f(x)在区间[a,b]上有解,
说明p应属于函数f(x)在[a,b]上的值域[m,M]内,故③是正确的;
关于x的不等式p≤f(x)在区间[a,b]上有解,说明p小于或等于的最大值,
所以④是错误的,而⑤是正确的
正确的选项应该为①③⑤
故选B
点评:
本题考点: 命题的真假判断与应用.
考点点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,属于基础题.不等式或方程解集非空,只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数,往往要考虑函数的最值了.
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