首先来推一个引理：对于任意一三角形ABC,然后做一条射线AD如图一,根据正弦定理∵CD/sinα=AC/sin∠ADCBD/sinβ=AB/sin∠ADB∵∠ADB+∠ADC=180°∴sin∠ADB=sin∠ADC∵CD/BD=ACsinα/Absinβ同理还可以推到：AD*sinβ/AC*sin(α+β)=BD/BC我来正（1）（2）推（3）好了,其它很容易得到然后把这个引理用到图二中去：对于三角形AXC因为是角平分线,所以容易知道BC/AB=XC/XA在三角形AXD中CD/AD=XC*sinβ/XA*sin(2α+β)∵调和点列∴AB*CD=AD*BC∴AB/BC=AD/CD∴BC/AB= XC*sinβ/XA*sin(2α+β)=XC/XA所以sinβ=sin(2α+β)从这个式子很容易得到α+β=90°就得证了.
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