在正方体ABCD_A'B'C'D' ..D为DD'的中心,O为底面ABCD的中心,求证B'O垂直PA
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①设CC'的中心点为P',连接PP',BP'.所以ABPP'为平行四边形(自己证明),即PA平行于P'B.

②设BC中点为O',连接OO',所以OO'垂直于面BCC'B'(这步自己证明,比较简单).既然OO'垂直于面BCC'B',OO'就与面BCC'B'的所有直线垂直,所以OO'与P'B垂直.

③连接B'O'与P'B相交于F点,因为是正方体,所以三角形BB'O'为直角三角形,角BB'O'+角BO'B'=90°.又因为三角形BCP'与三角形B'BO'为相等三角形(自己证明),所以角P'BC+角BO'B'=90°,所以角BFO'=90°.即B'O'与P'B垂直.

④根据②③可知,P'B与OO'、B'O'垂直,又因为OO'与B'O'属于面OB'O'的相交线,所以根据定理,P'B与面OB'O'垂直,又因为B'O属于面OB'O'的直线,所以P'B与B'O垂直.又因为P'B与PA平行,所以PA也与B'O垂直.