已知函数 f(x)=lnx- a(x-1) x+1 ．
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（1）f′（x）=
1
x -
a(x+1)-a(x-1)
(x+1) 2 =
(x+1) 2 -2ax
x (x+1) 2 =
x 2 +(2-2a)x+1
x (x+1) 2 ，
因为f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
即x 2+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，
当x∈（0，+∞）时，由x 2+（2-2a）x+1≥0，
得：2a-2≤x+
1
x ，
设g（x）=x+
1
x ，x∈（0，+∞），
则g（x）=x+
1
x ≥2
x•
1
x =2，当且仅当x=
1
x 即x=1时，g（x）有最小值2，
所以2a-2≤2，解得a≤2，所以a的取值范围是（-∞，2]；
（2）要证
m-n
lnm-lnn ＜
m+n
2 ，只需证
m
n -1
ln
m
n ＜
m
n +1
2 ，
即ln
m
n ＞
2(
m
n -1)
m
n +1 ，即ln
m
n -
2(
m
n -1)
m
n +1 ＞0，
设h（x）=lnx-
2(x-1)
x+1 ，
由（1）知h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又
m
n ＞1，
所以h（
m
n ）＞h（1）=0，即ln
m
n -
2(
m
n -1)
m
n +1 ＞0成立，
得到
m-n
lnm-lnn ＜
m+n
2 ．
