若函数f（x）=[1/3x3−12ax2+(a2−13) x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）
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（1）∵函数f（x）=

1

3x3−

1

2ax2+(a2−13) x+1

∴f′（x）=x2-ax+a2-13，∵f（x）在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数．

∴f′（x）=x2-ax+a2-13≤0在区间（6，+∞）上恒成立，

f′（x）=x2-ax+a2-13≥0在区间（6，+∞）上恒成立，

由f′（x）=x2-ax+a2-13开口向上，

∴只需

f′(1)＝1−a+a213≤0

f′(4)＝16−4a+ a2−13≤0

f′(6)＝36−6a+a2−13≤0]

∴

−3≤a≤4

1≤a≤3

a∈R

∴a∈[1，3]

∴a的取值范围为[1，3]．

（2）∵a=2，f（x）=[1/3x3−x2−9x+1，

∴f′（x）=x2-2x-9，

∴令f′（x）=x2-2x-9≥0即x≤1-

10]或x≥1+

10，

∴f（x）的增区间为（-∞，1-

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