已知：O为三角形ABC所在平面内一点,且满足
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向量(AB+BC)=向是AC,
向量BC=向量(OC-OB),
向量(AB+OC-OB)=向量AC,
向量(AB+OC)=向量(AC+OB),两边平方得,
AB^2+OC^2+2*向量AB*OC=AC^2+OB^2+2*向量AC*OB,.(1)
而,|向量OA|平方+|向量BC|平方=|向量OB|平方+|向量CA|平方=|向量OC|平方+|向量AB|平方
则有,
向量AB*OC=向量AC*OB.
而,向量(AB-AC)=向量BC,向量AC=向量(OC-OA).
向量(AB-OC)=向量(BC-OA),两边平方得,
AB^2+OC^2-2*向量AB*OC=BC^2+OA^2-2向量*BC*OA.(2)
向量AB*OC=向量*BC*OA,
比较(1),(2)式可得,
只有当:向量AB*OC=向量AC*OB=向量AB*OC=向量*BC*OA=0时,才有,
|向量OA|平方+|向量BC|平方=|向量OB|平方+|向量CA|平方=|向量OC|平方+|向量AB|平方,
即有,向量AB*OC向量AC*OB=向量AB*OC=向量*BC*OA=0,
则,向量AB⊥向量OC,向量AC⊥向量OB,向量BC⊥向量OA,
即,点O是三条高的交点.
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