如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DE
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（1）∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等，
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF
又∵截面DEF∥底面ABC，
∴DE=EF=FD=PD=OE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°，
∴P-ABC是正四面体。
（2）取BC的中点M，连接PM，DM，AM
∵BC⊥PM，BC⊥AM，
∴BC⊥平面PAM，BC⊥DM，
则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角
由（1）知，P-ABC的各棱长均为1，
∴PM=AM=
，由D是PA的中点，得
sin∠DMA=
，
∴∠DMA=arcsin
。
（3）存在满足条件的直平行六面体
棱台DEF-ABC的棱长和为定值6，体积为V
设直平行六面体的棱长均为
，底面相邻两边夹角为α，
则该六面体棱长和为6，体积为
sinα=V
∵正四面体P-ABC的体积是
，
∴0＜V＜
，0＜8V＜1
可知α=arcsim（8V）
故构造棱长均为
，底面相邻两边夹角为arcsim（8V）的直平行六面体即满足要求。
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