正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点,求证平面AMN‖

正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点,求证平面AMN‖平面EFDB.

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证明：连接MF与NE,

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

M,N,E,F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点,

所以在正方形A1B1C1D1中,

MF‖＝A1D1,NE‖＝A1B1

又因为四边形ADA1D1与四边形ABA1B1是正方形

所以AD‖＝A1D1,AB‖＝A1B1,

所以MF‖＝AD,NE‖＝AB,

所以四边形AMFD与四边形ABEN是平行四边形

所以AM‖＝DF,AN‖＝BE,

又因为AM不在平面BDFE内,DF在平面BDFE内；

AN不在平面BDFE内,BE在平面BDFE内,

所以AM‖平面BDFE,AN‖平面BDFE,

又因为AM在平面AMN内,AN在平面AMN内

且AM与AN交于点A,

所以平面AMN‖平面EFDB.

By 长青葛藤

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