如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．

如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．

（1）求证：△ABC为等边三角形；

（2）求DE的长；

（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．

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1个回答

（1）证明：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

∵点D是BC的中点，

∴AD是线段BC的垂直平分线，

∴AB=AC，

∵AB=BC，

∴AB=BC=AC，

∴△ABC为等边三角形．

（2）连接BE．

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∴BE⊥AC，

∵△ABC是等边三角形，

∴AE=EC，即E为AC的中点，

∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，

∴DE=

1

2 AB=

1

2 ×2=1．

（3）存在点P使△PBD≌△AED，

由（1）（2）知，BD=ED，

∵∠BAC=60°，DE ∥ AB，

∴∠AED=120°，

∵∠ABC=60°，

∴∠PBD=120°，

∴∠PBD=∠AED，

要使△PBD≌△AED；

只需PB=AE=1．

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