、概念
(1)由于自变量x的变化,引起函数y=f(x)变化的快慢问题——函数的变化率,称为导数.
(2)由自变量的微小改变,(增量|△x|很小时)引起y=f(x)的改变量△y的近似值问题：微分问题.
(3)求导数(求微分)的方法——微分法.
2、两个实例
(1)直线运动的瞬时速度问题：
设质点沿着直线做非匀速运动,其走过的路程S与时间t的函数关系为S=s(t),
求某一时刻t.时的瞬时速度.
设从t.到t.+△t这段时间内,质点所走过的路程为△S
△S=s(t.+△t)-s(t.)
从t.到t.+△t内的平均速度是
V平=△S/△t=[s(t.+△t)-s(t.)]/△t
当△t很小时,对非匀速运动而言,平均速度V平可以做为t.时刻瞬时速度的近似值.即v|t=t.≈V平
△t越小,V平与v|t=t.越接近
如果△t->0,V平的极限存在
limV平=lim(△S/△t)=lim[s(t.+△t)-s(t.)]/△t=V.
则有v|t=t.≡v.
(2)曲线在一点处的切线斜率（如图）
切线：当P’->P.时,割线P.P’的极限位置P.T称为曲线的切线.
割线：P.(x.,f(x.)),P’(x.+△x,f(x.+△x))
斜率k割=tana1=△y/△x=[f(x.+△x)-f(x.)]/△x
当△x->0时,切线P.T的斜率k=tana=limk割=lim[f(x.+△x)-f(x.)]/△x
其中a为切线P.T的倾象.
▲导数的定义：
(1)导数定义形式一：设y=f(x)在N(x.,δ)内(δ>0)有定义,
当自变量x在x.点有改变量△x,(△x∈N(x.,δ)),
函数y=f(x.)相应的增量为△y=f(x.+△x)-f(x.).
如果当△x->0时,lim[f(x.+△x)-f(x.)]/△x存在,则称函数y=f(x)在x.点可导,并称此极限值为y=f(x)在x.点的导数.记为:
y’|x=x.,或f’(x),或dy/dx|x=x.,或df(x)/dx|x=x.
即当△x->0时,f’(x.)=lim[f(x.+△x)-f(x.)]/△x
直线运动的瞬时速度,V|t=t.=s’(t)|t=t.
曲线在(x.,f(x.))的切线斜率k|x=x.=f’(x.)
(2)导数定义形式二：y=f(x)在x.点的导数
记x=x.+△x,△x=x-x.
当△x->0时,x->x.
△y=f(x.+△x)-f(x.)=f(x)-f(x.)
当△x->0时,f’(x.)=lim[f(x.+△x)-f(x.)]/△x
即当x->x.时,f’(x.)=lim[f(x)-f(x.)]/(x-x.)
▼若y=f(x)在x.可导,记为f(x)∈D{x.}
若y=f(x)在(a,b)内可导,记为f(x)∈D(a,b)
若y=f(x)在I可导,记为f(x)∈D(I)
若y=f(x)在(a,b)内可导,任意x∈(a,b),就有f’(x)与x对应,由函数定义,可知f’(x)是被定义在(a,b)上的函数.f’(x)称为导函数,简称导数
▼例：求y=1/x^2的导数(x≠0)
y=1/x^2的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)
任给一个x∈(-∞,0)∪(0,+∞)
自变量有增量△x,x+△x∈(-∞,0)∪(0,+∞)
函数y=1/x^2对应的增量
△y=1/(x+△x)^2-1/x^2=(-2x△x-△x^2)/[x^2(x+△x)^2]
作比值△y/△x=(-2x-△x)/[x^2(x+△x)^2]
求极限,当△x->0时,lim△y/△x=lim(-2x-△x)/[x^2(x+△x)^2]=-2/x^3
所以(1/x^2)’=-2/x^3
[定义2]设函数f(x)在x.点的左侧[x.+△x,x.]（△x0-时,lim[f(x.+△x)-f(x.)]/△x存在,则称此极限为f(x)在x.点的左导数,记为当△x->0-时,f’_(x.)=lim[f(x.+△x)-f(x.)]/△x
类似的,设函数f(x)在x.点的右侧[x.,x.+△x]（△x>0）上有定义,如果当△x->0+时,lim[f(x.+△x)-f(x.)]/△x存在,则称此极限为f(x)在x.点的右导数,记为当△x->0+时,f’+(x.)=lim[f(x.+△x)-f(x.)]/△x
f(x)在x.处可导f’_(x.)=f’+(x.)
如果f(x)∈D(a,b),且f’_(a)和f’+(b)存在,
则称f(x)在[a,b]上可导,记为f(x)∈D[a,b]
