半径为R的球内切于正三棱锥,求正三棱锥的体积?
1个回答

设正三棱锥S-ABC内切于球,球心为O

若正△ABC的一中线为AD,重心为G,

则高SG经过点O,

又设正三棱锥的棱长为12a,

则AB=BC=SA=12a

可求得：BD=6a,AD=6（根号3）a

AG=4（根号3）a,SG=4（根号6）a

∵球半径OG=R,∴OS=4（根号6）a-R

∵OA=OS,∴OA=4（根号6）a-R

在Rt△OAG中,∵OA²=OG²+AG²

∴[4（根号6）a-R]²=R²+[4（根号3）a]²

∴a=（根号6）R/6

∴正三棱锥S-ABC的体积V

=△ABC的面积乘以高SG除以3

=（BC×AD×SG）/6

=[12a×6（根号3）a×4（根号6）a]÷6

=144（根号2）a³

=8（根号3）R³

相关问题