解题思路：（Ⅰ）由已知条件得
b
n+1
−
1/2
＝
1
2
(
b
n
−
1
2
)
，由此证明{
b
n
−
1
2]}成等比数列，并求出
b
n
＝3×(
1
2
)
n−1
+
1
2
．
（Ⅱ）由
b
n
＝3×(
1
2
)
n−1
+
1
2
，利用分组求和法得到Tn=
6(1−
1
2
n
)+
n
2
，由此利用已知条件得到k≥
n+2
n
2
+4n+5
对任意n∈N*恒成立，从而能求出实数k的取值范围．
（Ⅰ）证明：对任意n∈N*，都有bn+1＝
1
2bn+
1
4，
∴bn+1−
1
2＝
1
2(bn−
1
2)，
∴{bn−
1
2}成等比数列，
首项为b1−
1
2＝3，公比为[1/2]，
∴bn−
1
2＝3×(
1
2)n−1，
∴bn＝3×(
1
2)n−1+
1
2．
（Ⅱ）∵bn＝3×(
1
2)n−1+
1
2，
∴Tn＝3(1+
1
2+
1
22+…+
1
2n−1)+[n/2]
=
3(1−
1
2n)
1−
1
2+
n
2
=6(1−
1
2n)+
n
2，
∵对任意n∈N*，不等式
2Tn+3•22n−1−10
k≤n2+4n+5恒成立，
∴k≥[n+2
n2+4n+5对任意n∈N*恒成立，
又
n+2
点评：
本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．
考点点评： 本题考查考查等比数列的证明，考查等比数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．
1年前
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