二次函数的解析式求法
求二次函数的解析式这类题涉及面广,灵活性大,技巧性强,笔者结合近几年来的中考试题,总结出几种解析式的求法,供同学们学习时参考.
一、 三点型
例1 已知一个二次函数图象经过（-1,10）、（2,7）和（1,4）三点,那么这个函数的解析式是_______.
分析 已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax+bx+c,将三个点的坐标代入,易得a=2,b=-3,c=5 .故所求函数解析式为y=2x-3x+5.
这种方法是将坐标代入y=ax+bx+c 后,把问题归结为解一个三元一次方程组,求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax+bx+c.
二、交点型
例2 已知抛物线y=-2x+8x-9的顶点为A,若二次函数y=ax+bx+c的图像经过A点,且与x轴交于B（0,0）、C（3,0）两点,试求这个二次函数的解析式.
分析 要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标,可设y=ax(x-3),再求也y=-2x+8x-9的顶点A（2,-1）.将A点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=
∴y=x(x-3),即 y=.
三、顶点型
例 3 已知抛物线y=ax+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式.
分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m)+k.在本题中可设y=a(x+1)+4.再将点(1,2)代入求得a=-
∴y=-
即y=-
由于题中只有一个待定的系数a,将已知点代入即可求出,进而得到要求的解析式.
四、平移型
例 4 二次函数y=x+bx+c的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函数则b与c分别等于
(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.
分析 逆用平移分式,将函数y=x-2x+1的顶点（1,0）先向下平移3个单位,再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3,-3）.
∴y=x
=x
∴b=-6,c=6.
因此选（B）
五、弦比型
例 5 已知二次函y=ax+bx+c为x=2时有最大值2,其图象在X轴上截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式.
分析 弦长型的问题有两种思路,一是利用对称性求出交点坐标,二是用弦比公式d=就本题而言,可由对称性求得两交点坐标为A（1,0）,B（3,0）.再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x+8x-6.
六、识图型
例 6 如图1, 抛物线y=与y=其中一条的顶点为P,另一条与X轴交于M、N两点.
（1）试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点?
（2）求两条抛物线的解析式.
解 （1）抛物线y=与x轴交于M,N两点（过程从略）；
（2）因y=的顶点坐标为（0,1）,
∴b-2=0,d=1, ∴b=2.
∴Y=.
将点N的坐标与b=2分别代入y=+(b+2)x+c得c=6.
∴y=+4x+6
七、面积型
例 7 已知抛物线y=x 的对称轴在 y轴的右侧,且抛物线与 y轴交于Q（0,-3）,与x轴的交点为A、B,顶点为P,ΔPAB的面积为8.求其解析式.
解 将（0,-3）代入y=得 c=-3.
由弦长公式,得
点P的纵坐标为
由面积公式,得
解得
因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2.
所以解析式为y=
八、几何型
例 8 已知二次函数y=-mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形,求其解析式.
解 由弦比公式,得AB=
顶点C的纵坐标为-
∵ΔABC为等边三角形
∴
解得m=4故所求解析式为
y=
或y=
九、三角型
例 9已知抛物线y=的图象经过三点（0,）、（sinA,0）、（sinB,0）且A、B为直角三角形的两个锐角,求其解析式.
解 ∵A+B=90,∴sinB=cosA.
则由根与系数的关系,可得
将（0,）代入解析式,得c=
（1）,得
∴
∵-b∴b=-
所以解析式为y=
十、综合型
例 10 如图2,已知抛物线y=-与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,
若∠ACB=90,且tg∠CAO-tg∠CBO=2,求其解析式．
解 设A,B两点的横坐标分别为x,则q=(-x
由ΔAOC～ΔCOB,可得OC=OA·OB,
∴q=q解得q=1,q=0（舍去）,
又由tg∠CAO-tg∠CBO=2得
即
∴x+x=-2xx 即 p=2p=2
所以解析式为y=-x+2x+1
函数及其图象
例1.二次函数性质的应用
例2.利用二次函数性质求点的坐标
例3.求二次函数解析式
例4.求二次函数解析式
二、同步测试
三、提示与答案
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例6.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示,对称轴是直线x=-1
(1)确定a.b.c.b2-4ac的符号,
(2)求证a-b+c＜o ;
(3)当x取何值时,y随x值的增大而减小.
(1)由抛物线开口向上,得出a＞0,由抛物线与y轴交点坐标为(O,C),而此点在x轴下方,得出c＜0,又由抛物线的对称轴是x=-1,在y轴左侧,得出b与a同号∴b＞0.
抛物线与x轴有两个交点,即ax2+bc+c=0有两个不等的实根,∴b2-4ac＞0
(2)当x=-1时,y=a-b+c＜0
(3)当x＜-1时,y随x值的增大而减小.
例7.已知y是x的二次函数,且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位,当x=3时,y取得最小值-2.(1)求这个二次函数的解析式 (2)若此函数图象上有一点P,使ΔPAB的面积等于12个平方单位,求P点坐标.
分析：由已知可得抛物线的对称轴是直线x=3,根据抛物线的对称性,又由抛物线在x轴上截得线段AB的长是4,可知其与x轴交点为(1,0),(5,0)
(1)∵当x=3时 y取得最小值-2.即抛物线顶点为(3,-2).∴设二次函数解析式为
y=a(x-3)2-2
又∵图象在x轴上截得线段AB的长是4,∴图象与x轴交于(1,0)和(5,0)两点
∴a(1-3)2-2=0 ∴a=
∴所求二次函数解析式为y=x2-3x+
(2)∵ΔPAB的面积为12个平方单位,｜AB｜=4
∴×4×｜Py｜=12 ∴｜Py｜=6 ∴Pg=±6
但抛物线开口向上,函数值最小为-2,∴Py=-6应舍去,∴Pg=6 又点P在抛物线上,
∴6=x2-3x+
x1=-1,x2=7
即点P的坐标为(-1,6)或(7,6)
说明：此题如果设图象与x轴交点横坐标为x1,x2,运用公式｜x1-x2｜=,会使运算繁琐.这里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标,比较简便.
例8.如图,矩形EFGH内接于ΔABC.E、F在AC边上H、G分别在AB、BC边上,AC=8cm,高BD=6cm,设矩形的宽HE为x(cm).试求出矩形EFGH的面积y(cm2)与矩形EFGH的宽x(cm)间的函数关系式,并回答当矩形的宽取多长时,它的面积最大,最大面积是多少?
∵四边形EFGH是矩形
∴HG∥AC
∴ΔABC∽ΔHBG
设BD交HG于M
则BD与BM分别是ΔABC和ΔHBG的高.
∴
∵HG∥AC,
∴MD=HE=x,BM=6-x
∴,
∴HG=
∵y=S矩形EFGH=HE*HG
∴y=x*
整理得y=-x2+8x
∵BD=6
∴自变量x的取值范围是0＜x＜6
∵x2的系数为-＜0,
∴y有最大值
当x=-=3时,
y最大值==12
∴所求函数的解析式为y=-x2+8x(0＜x＜6),当它的宽为3cm时,矩形EFGH面积最大,最大面积为12cm2.
例9.二次函数y=ax2+bx-5的图象的对称轴为直线x=3,图象与y轴相交于点B,设x1,x2是方程ax2+bx-5=0的两个根,且x12+x22=26,又设二次函数图象顶点为A,
(1)求二次函数的解析式
(2)求原点O到直线AB的距离
解(1)如图
∵-=3 ∴-=6
又x1+x2=-=6
x1*x2=-
由已知,有x12+x22=26,
∴(x1+x2)2-2x1x2=26
即(-)2+=26,=26-36
解得a=-1
∴解析式为y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4
(2)∵OB=5,OC=4,AC=3
∴AB==3
又OA==5
∴ΔAOB为等腰三角形,作OD⊥AB于D,
∴BD=
∴OD=,
即原点O到直线AB的距离为
三、同步测试：
选择题：
1.如果点P(3m-p,1-m)是第三象限的整数点,那么P点坐标是( )
(A).(-2,-1) (B)(-3,-1) (C)(-3,-2) (D)(-4,-2)
2.若点P(a,b)在第二、四象限两轴夹角平分线上,则a与b的关系是()
(A)a=b (B)a=-b (C)a=｜b｜ (D)｜a｜=b
3.点P(x,y)在第二象限,且｜x｜=2,｜y｜=3,则点P关于x轴对称点的坐标为( )
(A)(-2,3) (B)(2,-3) (C)(-2,-3) (D)(2,3)
4.函数y=中,自变量x的取值范围是( )
(A)x≤2 (B)x＜2 (C)x≠2 (D)x＞2
5.函数y=中,自变量x的取值范围是( )
(A)x＞-2且x≠1 (B)x≥-2且x≠1
(C)x≥-2且x≠±1 (D)x≥-2或x≠±1
6.在下列函数中,成正比例函数关系的是( )
(A)圆的面积与它的周长
(B)矩形面积是定值,矩形的长与宽
(C)正方形面积与它的边长
(D)当底边一定时,三角形面积与底边上的高
7.函数y=k(x-1)与y=(k＜o)在同一坐标系下的图象大致如图( )
8.如果直线y=kx+b的图象过二、三、四象限,那么( )
(A)k＞0,b＞0 (B) k＞0,b＜0
(C)k＜0,b＞0 (D)k＜0,b＜0
9.对于抛物线y=-+x-x2,下列结论正确的是( )
(A)开口向上,顶点坐标是(,0)
(B)开口向下,顶点坐标是(,0)
(C)开口向下,顶点坐标是(-,)
(D)开口向上,顶点坐标是(-,-)
10.若a＞0,b＜0则函数y=ax2+bx的图象是下面图中的( )
11.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则( )
(A)a＞0,b＞0, c＞0,Δ＜0
(B)a＜0,b＞0, c＜0,Δ＞0
(C)a＞0,b＜0, c＜0,Δ＞0
(D)a＜0,b＜0, c＞0,Δ＜0
12.把函数y=2x2-4x-5的图象向左平移2个单位,再向下平移3个单位后,所得到的函数图象的解析式为( )
(A)y=2x2+4x-8 (B)y=2x2-8x+8
(C)y=2x2+4x-2 (D)y=2x2-8x-2
填空题
13.点A(,-5)到x轴的距离是____；到y轴的距离是____；到原点的距离是____.
14.直线y=kx+b与直线y=-x平行,且通过点(2,-3),则k=__,在y轴上的截距为___.
15.一次函数的图象经过(1,-5)点且与y轴交于(0,-1)点,则一次函数的解析式为____.
16.已知抛物线的顶点为M(4,8)且经过坐标原点,则抛物线所对应的二次函数的解析式为____.
解答题：
17.一次函y=x+分别与x轴,y轴交于点A,B,点C(0,a)且a＜0,若∠BAC为直角,求图象过点C与点A的一次函数解析式.
18.已知如图,在ΔABC中,AB=4,AC=6,D是AB边上一点,E是AC边上一点,∠ADE=∠C,设DB=x,AE=y.
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)画出这个函数图象.
19.在直角坐标系xoy中,直线l过点(4,0),且与x,y轴围成的直角三角形面积为8,一个二次函数图象过直线l与两坐标轴的交点,且以x=3为对称轴,开口向下.求二次函数的解析式及函数的最大值.
20.已知抛物线y=x2-mx+(2m+3)(m是不小于-2的整数)与x轴相交于A、B两点,且A、B两点间的距离恰是顶点到y轴距离的2倍.
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)如果D(t,2)是抛物线上一点且在第一象限,求D点坐标.
四.提示与答案
1.B 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.D
9.B 10.C 11.B 12.A 13.5,3,2
14.-,-2 15.y=-4x-1 16.y=-x2+4x
17.y=-x-
18.(1)y=-x+(0≤x＜4)；(2)图略
19.y=-x2+3x-4,最大值为.
20.(1)y=x2+2x-1;(2)D(1,2)
