2008年武汉市数学中考题第22题!

2008年武汉市数学中考题第22题!

如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E,OE交AD于点F．⑴求证：DE是⊙O的切线；⑵若AC：AB=3：5,求AF：DF的值.

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1个回答

(1)连接OD,

∵AD是∠BAC的角平分线,

∴∠EAD=∠OAD

∵∠OAD=∠ADO

∴∠EAD=∠ADO

∴OD‖AE

∵∠AED=90°

∴∠ODE=90°

(2)连接OD.OC,OD=OA,∠OAD=∠ODA;

作OG⊥AC,交AC于G,则AG=GC,

易证△OGA≌△OGC,（SSA)

∵DE⊥AC,

∴OG‖DE;

∵AD为∠BAC的平分线,

∴∠BAC=2∠DAC=2∠OAD=2∠ODA,

∵∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD,

∴∠BOD=∠BAC,

∴OD‖AE;

∵OD‖AE,ED‖OG

∴EDOG为平行四边形

∵∠DAC+∠ADE=90度,

∴∠ODA+∠ADE=90度

∴OGED为矩形,

GE=OD=AB/2,

∵∠AEO=∠EOD,∠AFE=∠OFD

∴△OFD∽△EFA

∴AE:DO=AF:DF

AF:DF=(AG+GE):(AB/2)=(AC/2+AB/2):(AB/2)=AC:AB+1=3:5+1=8:5

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