椭圆题232.求椭圆X^2/9+Y^2/16=1上的点到直线L:X+Y-7=0的最短距离3.与向量V(1,1)平行的直线
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思路就是先找一下平行于x+y-7=0 的椭圆的切线.
设直线x+y=k 是椭圆的切线,即
y=k-x,代入椭圆方程
x^2/9+(x-k)^2/16=1
25x^2-18kx+9k^2-144=0
切线的条件是该方程有两个相同的根,即满足
(18k)^2=4*25*(9k^2-144)
k^2=25,所以k=5或－5
考虑椭圆和x+y-7=0的位置关系,取经过第一象限的切线x+y=5,
这两条直线的距离为2/根号2＝根号2,就是最短距离.
3,
设直线方程为y=x+k,设交点A,B的坐标为(x1,y1),(x2,y2)
要OA垂直OB,则OAB是直角三角形,满足勾股定理|AB|^2=|OA|^2+|OB|^2
即(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=x1^2+y1^2+x2^2+y2^2
化简得到
x1x2=-y1y2
交点坐标满足
y=x+k
x^2+2y^2=2
将y=x+k代入椭圆方程,得到
3x^2+4kx+2k^2-2=0
x1x2=-y1y2
x1x2=-(x1+k)(x2+k)=-x1x2-k(x1+x2)-k^2
k^2+k(x1+x2)+2x1x2=0 利用韦达定理
k^2+k(-4k/3)+2(2k^2-2)/3=0
k^2=4/3,k=2/根号3和－2/根号3
所以y=x＋2/根号3 和y=x-2/根号3
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