已知数列的首项a1=a(a是常数且a≠－1),an=2an－1+3n(n∈N,n≥2)求an
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a(n)=2a(n-1)+3n
两边除以2的n次方有
a(n)/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+3n/2^n
于是令新数列b(n)=a(n)/2^n ,首项b(1)=a/2
b(n)-b(n-1)=3n/2^n
照着样子写下去有
b(n-1)-b(n-2)=3(n-1)/2^(n-1)
.
b(2)-b(1)=3*2/2^2
将上面n-1个式子相加有
b(n)-b(1)=3n/2^n+3(n-1)/2^(n-1)+...+3*2/2^2
等式右边可以用错位相减法得出
即令T=3n/2^n+3(n-1)/2^(n-1)+...+3*2/2^2
那么2T=3n/2^(n-1)+3(n-2)/2^(n-2)+...+3*2/2^1
2T-T=-3n/2^n+3(1/2^(n-1)+1/2^(n-2)+...+1/2^2)+3*2/2^1
T=-3n/2^n+3/2-3/2^(n-1)+3
所以b(n)=T+b(1)=9/2-3n/2^n-3/2^(n-1)+a/2
a(n)=2^n*b(n)=9*2^(n-1)-3n-6+a*2^(n-1)
注：2^n表示2的n次方.
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