：线性回归
一、回归直线方程的推导
思考1：人体脂肪含量和年龄关系散点图中点的分布从整体上看有何特点?
思考2：如何描述这些特点?
（1）回归直线：如果散点图中的点的分布,从整体上看大致在一条直线附近,则称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.
（2）回归方程：回归直线对应的方程叫做回归方程.
思考3：回归直线方程的推导：我们该怎样来求出这个回归方程?
设所求的直线方程为 =bx+a,其中a、b是待定系数.
则 i=bxi+a（i=1,2,…,n）.于是得到各个偏差
yi－ i =yi－（bxi+a）（i=1,2,…,n）
显见,偏差yi－ i 的符号有正有负,若将它们相加会造成相互抵消,所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度,故采用n个偏差的平方和
Q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－a）2+…+（yn－bxn－a）2
表示n个点与相应直线在整体上的接近程度.
记Q=
这样,问题就归结为：当a、b取什么值时Q最小,a、b的值由下面的公式给出：
其中 = ,= ,a为回归方程的斜率,b为截距.
注：1、各点到该直线的距离的平方和最小,这一方法叫最小二乘法.
2、我们把由一个变量的变化去推测另一个变量的方法称为回归方法.
二、求线性回归方程
例2：观察两相关变量得如下表：
xx05-1x05-2x05-3x05-4x05-5x055x053x054x052x051
yx05-9x05-7x05-5x05-3x05-1x051x055x053x057x059
求两变量间的回归方程
i
1x052x053x054x055x056x057x058x059x0510
-1x05-2x05-3x05-4x05-5x055x053x054x052x051
x05-9x05-7x05-5x05-3x05-1x051x055x053x057x059
9x0514x0515x0512x055x055x0515x0512x0514x059
计算,得
∴所求回归直线方程为 y=x
小结：求线性回归直线方程的步骤：
第一步：画出散点图,判断是否具有相关关系
第二步：列表 ；
第三步：计算
第四步：代入公式计算b,a的值；
第五步：写出直线方程.
三、利用线性回归方程对总体进行估计
例：有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：
温度x05-5x050x054x057x0512x0515x0519x0523x0527x0531x0536
杯数x05156x05150x05132x05128x05130x05116x05104x0589x0593x0576x0554
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；
(3)求回归方程；
(4)如果某天的气温是 C,预测这天卖出的热饮杯数.
(1)散点图
(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高,卖出去的热饮杯数越少.
(3)从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线附近.
通过列表 、计算 、代入公式计算b,a的值、写出直线方程.Y=-2.352x+147.767
（4）当x=2时,y=143.063,因此,这天大约可以卖出143杯热饮.
【课堂小结】
1、求样本数据的线性回归方程,可按下列步骤进行：
（1）计算平均数 ,；
（2）求a,b；
（3）写出回归直线方程.
2、回归方程被样本数据惟一确定,对同一个总体,不同的样本数据对应不同的回归直线,所以回归直线也具有随机性..
3、对于任意一组样本数据,利用上述公式都可以求得“回归方程”,如果这组数据不具有线性相关关系,即不存在回归直线,那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此,对一组样本数据,应先作 散点图,在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.
