已知椭圆C：x24+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，过F的值线l交椭圆C于A、B两点，过F2且平行于l的直线l1交椭
1个回答
解题思路：（1）由椭圆的定义可得△ABF2的周长；（2）设直线l的倾斜角为θ，当θ≠π2时，求出点M到直线l的距离即为两条平行线间的距离，|AB|，计算三角形的面积，利用基本不等式求最值；当θ=π2时，|AB|=1，d=23，此时S△ABM=3＜2，由此可得△ABM面积的最大值．
（1）由椭圆的定义可得△ABF2的周长=|AB|+AF2|+|BF2|=4a=8；
（2）设直线l的倾斜角为θ，当θ≠[π/2]时，l：y=tanθ（x+
3），l1：y=tanθ（x-
3）
点M到直线l的距离即为两条平行线间的距离：d=2
3sinθ
∵|AB|=
2×
b2
a2
1-e2cos2θ=[1
1-
3/4cos2θ]
∴S△ABM=
1
2×
1
1-
3
4cos2θ×2
3sinθ=
4
3
1
sinθ+sinθ≤
4
3
2
3=2
当且仅当sinθ=
3
3时，取等号
当θ=[π/2]时，|AB|=1，d=2
3，此时S△ABM=
3＜2
∴△ABM面积的最大值为2．
点评：
本题考点： 椭圆的简单性质．
考点点评： 本题考查椭圆的定义，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
相关问题
