已知函数f（x）=x3+3ax2+（3-6a）x+12a-4（a∈R）
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解题思路：（Ⅰ）求出函数f（x）在x=0处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；
（Ⅱ）f（x）在x=x0处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a的大致取值范围，然后通过极小值对应的x0∈（1，3），解关于a的不等式，从而得出取值范围
（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+3-6a
由f（0）=12a-4，f′（0）=3-6a，
可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3-6a）x+12a-4，
当x=2时，y=2（3-6a）+12a-4=2，可得点（2，2）在切线上
∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）
（Ⅱ）由f′（x）=0得
x2+2ax+1-2a=0…（1）
方程（1）的根的判别式
△=4a2-4(1-2a)=4(a+1+
2) (a+1-
2)
①当-
2-1≤a≤
2-1时，函数f（x）没有极小值
②当a＜-
2-1或a＞
2-1时，
由f′（x）=0得x1=-a-
a2+2a-1，x2=-a+
a2+2a-1
故x0=x2，由题设可知1＜-a+
a2+2a-1＜3
（i）当a＞
2-1时，不等式1＜-a+
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．
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