若a、b、x、y均为正实数，并且x+y=1，求证：ab≤（ax+by）（ay+bx）≤(a+b)24．
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解题思路：依题意，先作差（ax+by）（ay+bx）-ab后化积即可证得ab≤（ax+by）（ay+bx），再利用基本不等式对（ax+by）（ay+bx）放缩，即可证得（ax+by）（ay+bx）≤
(a+b
)
2
4
，从而原结论可证．
证明：∵（ax+by）（ay+bx）-ab=a2xy+b2xy+abx2+aby2-ab
=xy（a2+b2）+ab（x2+y2-1）
=xy（a2+b2）+ab[（x+y）2-2xy-1]．
∵a、b、x、y均为正实数，x+y=1，
∴（ax+by）（ay+bx）-ab
=xy（a2+b2）-2abxy
=xy（a-b）2≥0，
∴ab≤（ax+by）（ay+bx）．
又（ax+by）（ay+bx）≤[
(ax+by)+(ay+bx)
2]2=[
a(x+y)+b(x+y)
2]2=(
a+b
2)2=
(a+b)2
4．
∴ab≤（ax+by）（ay+bx）≤
(a+b)2
4．
点评：
本题考点： 不等式的证明．
考点点评： 本题考查不等式的证明，着重考查作差法与放缩法的综合应用，考查推理证明的能力，属于中档题．
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