求证a+b+c≥3（abc）^1/3,a,b,c,为正实数.
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引入正数x、y、z,显然有：（x－y）^2≧0, ∴x^2－2xy＋y^2≧0, ∴x^2＋y^2≧2xy.
同理,有：x^2＋z^2≧2xz、 y^2＋z^2≧2yz.
显然还有：（x＋y）（x－y）^2≧0, ∴（x^2－y^2）（x－y）≧0,
∴x（x^2－y^2）－y（x^2－y^2）≧0, ∴x^3－xy^2－x^2y＋y^3≧0,
∴x^3＋y^3≧x^2y＋xy^2.
同理,有：x^3＋z^3≧x^2z＋xz^2、 y^3＋z^3≧y^2z＋yz^2.
于是：
（x^3＋y^3）＋（x^3＋z^3）＋（y^3＋z^3）≧（x^2y＋xy^2）＋（x^2z＋xz^2）＋（y^2z＋yz^2）,
∴2（x^3＋y^3＋z^3）≧（x^2y＋yz^2）＋（xy^2＋xz^2）＋（x^2z＋y^2z）,
∴2（x^3＋y^3＋z^3）≧y（x^2＋z^2）＋x（y^2＋z^2）＋z（x^2＋y^2）,
∴2（x^3＋y^3＋z^3）≧y（2xz）＋x（2yz）＋z（2xy）＝6xyz,
∴x^3＋y^3＋z^3≧3xyz.
令上式中的x^3＝a、y^3＝b、z^3＝c,得：xyz＝（abc）^（1/3）,
∴a＋b＋c≧3（abc）^（1/3）.
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