正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F
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（1）AP=EF,AP⊥EF,理由如下：
连接AC,则AC必过点O,延长FO交AB于M；
∵OF⊥CD,OE⊥BC,且四边形ABCD是正方形,
∴四边形OECF是正方形,
∴OM=OF=OE=AM,
∵∠MAO=∠OFE=45°,∠AMO=∠EOF=90°,
∴△AMO≌△FOE,
∴AO=EF,且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°,即OC⊥EF,
故AP=EF,且AP⊥EF．
（2）题（1）的结论仍然成立,理由如下：
延长AP交BC于N,延长FP交AB于M；
∵PM⊥AB,PE⊥BC,∠MBE=90°,且∠MBP=∠EBP=45°,
∴四边形MBEP是正方形,
∴MP=PE,∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB-BM=AM,BC-BE=EC=PF,且AB=BC,BM=BE,
∴AM=PF,
∴△AMP≌△FPE,
∴AP=EF,∠APM=∠FPN=∠PEF
∵∠PEF+∠PFE=90°,∠FPN=∠PEF,
∴∠FPN+∠PFE=90°,即AP⊥EF,
故AP=EF,且AP⊥EF．
（3）题（1）（2）的结论仍然成立；
如右图,延长AB交PF于H,证法与（2）完全相同．
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