已知三次函数f（x）=ax3-5x2+cx+d（a≠0）图象上点（1，8）处的切线经过点（3，0），并且f（x）在x=3

已知三次函数f（x）=ax3-5x2+cx+d（a≠0）图象上点（1，8）处的切线经过点（3，0），并且f（x）在x=3处有极值．

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）若当x∈（0，m）时，f（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

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解题思路：（1）将（1，8）代入f（x）；求出导函数，据导数在切点（1，8）处的值为切线斜率列出方程；据极值点处的导数值为0，列出另一个等式，解方程组求出f（x）的解析式．

（2）求出导函数，令导函数等于0，求出根，判断出函数的单调区间，求出最小值，求出m的范围．

（1）∵f（x）图象过点（1，8），

∴a-5+c+d=8，即a+c+d=13①

又f′（x）=3ax2-10x+c，且点（1，8）处的切线经过（3，0），

∴f′（1）=[8−0/1−3]=-4，即3a-10+c=-4，∴3a+c=6②

又∵f（x）在x=3处有极值，∴f′（3）=0，即27a+c=30③

联立①、②、③解得a=1，c=3，d=9，f（x）=x3-5x2+3x+9

（2）f′（x）=3x2-10x+3=（3x-1）（x-3）由f′（x）=0得x1=[1/3]，x2=3

当x∈（0，[1/3]）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）＞f（0）=9

当x∈（[1/3]，3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）＞f（3）=0．

又∵f（3）=0，

∴当m＞3时，f（x）＞0在（0，m）内不恒成立．

∴当且仅当m∈（0，3]时，f（x）＞0在（0，m）内恒成立．

所以m取值范围为（0，3]．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；导数的运算；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查在解决函数的切线问题时，一定注意是切点处的导数值才等于切线的斜率．在解决不等式恒成立问题时，常采用的方法是分离常数求函数的最值．

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