解: |A-λE|=(1-λ)^2-4=(3-λ)(-1-λ)
A的特征值为3,-1
(A-3E)X=0 的基础解系为 a1=(1,1)^T
(A+E)X=0 的基础解系为 a2=(1,-1)^T
令 P=(a1,a2)=
1 1
1 -1
则P可逆, 且 P^-1AP=diag(3,-1)
所以 A=Pdiag(3,-1)P^-1
所以 A^2012 = Pdiag(3,-1)^2012P^-1
= Pdiag(3^2012,(-1)^2012)P^-1
= Pdiag(3^2012,1)P^-1= (1/2)*
3^2012 + 1 3^2012 - 1
3^2012 - 1 3^2012 + 1
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