设m,t为实数,函数f(x)=(mx+t)/(x^2+1),f(x)的图像在点M(0,f(0))处的切线斜率为1

设m,t为实数,函数f(x)=(mx+t)/(x^2+1),f(x)的图像在点M(0,f(0))处的切线斜率为1

1.求实数m的值

2.若对于任意x∈[1,2],总存在t,使得不等式f(x)≤2t成立,求实数t的取值范围

3.设方程x²+2tx-1=0的两个实数根为a.b(a＜b),若对于任意x∈[a,b],总存在x1,x2∈[a,b]使得f(x1)≤f(x)≦f(x2)恒成立,记g(t)=f(x2)-f(x1),当g(t)=√5时,求实数t的值

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1个回答

1.对f(x)求导,得f'(x)=(-mx^2-2tx+m)/(x^2+1)^2,f'(0)=m=1

2.f(x)=(x+t)/(x^2+1)≤2t =>t≥x/(2x^2+1)

s(x)=x/(2x^2+1)在区间[1,2]递减,依题意只须t≥s(2)即可,则有t≥2/9

3.由韦达定理,a+b=-2t,ab=-1,b-a=2√(t^2+1)

若对于任意x∈[a,b],总存在x1,x2∈[a,b]使得f(x1)≤f(x)≦f(x2)恒成立,说明x1,x2分别是区间[a,b]f(x)的最小最大值点.

由问1可得,f'(x)=-(x^2+2tx-1)/(x^2+1)^2,注意h(x)=x^2+2tx-1,不难发现函数f(x)在区间[a,b]

f'(x)≥0,f(x)递增,则x1=a,x2=b

则g(t)=f(x2)-f(x1)=f(b)-f(a)=(b+t)/(b^2+1)-(a+t)/(a^2+1)

=(ba^2+b+ta^2-ab^2-a-tb^2)/(a^2b^2+a^2+b^2+1)

带入数据得g(t)=√(t^2+1)=√5 =>t=±2

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