该三角形的三条中线长不等,说明该三角形的三边不等,不失一般性地设该三角形的三边长分别是a、b、c,且a＞b＞c.令a、b、c边上的中线长依次是d、e、f.
由三角形的中线长公式,该三角形的三条中线长分别可表示成：
0.5√（2a^2＋2b^2－c^2）、 0.5√（2b^2＋2c^2－a^2）、 0.5√（2a^2＋2c^2－b^2）
由a＞b＞c,有：2a^2＋2b^2＞2a^2＋2c^2, b^2＞c^2
可见：0.5√（2a^2＋2b^2－c^2）＞0.5√（2a^2＋2c^2－b^2）
同理可得：0.5√（2a^2＋2c^2－b^2）＞0.5√（2b^2＋2c^2－a^2）
所以：0.5√（2a^2＋2b^2－c^2）＝5
0.5√（2a^2＋2c^2－b^2）＝4
0.5√（2b^2＋2c^2－a^2）＝3
上述三个方程两边同乘以2后两边平方,得：
2a^2＋2b^2－c^2＝100
2a^2＋2c^2－b^2＝64
2b^2＋2c^2－a^2＝36
解上述三个方程联立的方程组,得：a＝2√73／3,b＝4√13／3,c＝10／3.
以下给出三角形中线长公式的证明：
若AD是△ABC的中线,则：AD＝0.5√（2AB^2＋AC^2－BC^2）
证明：
过A作AE⊥BC交BC或其延长线于E.
1、当E在CD上时,由勾股定理,有：
AB^2＝（BD＋DE）^2＋AE^2
AC^2＝（CD－DE）^2＋AE^2
AD^2＝DE^2＋AE^2
上述第三个式子两边乘以2后,减去第一、第二个式子,得：
2AD^2－AB^2－AC^2＝2DE^2－（BD＋DE）^2－（CD－DE）^2
得：2AD^2－AB^2－AC^2＝2DE^2－BD^2－2BD×DE－DE^2－CD^2＋2CD×DE－DE^2
而BD＝CD＝BC／2
所以：2AD^2－AB^2－AC^2＝－BD^2
即：4AD^2＝2AB^2＋2AC^2－4BD^2＝2AB^2＋2AC^2－BC^2
于是：AD＝0.5√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）
请你用类似的方法证明2、3、4、5四种情况：
2、当E在DC的延长线上时,有：AD＝0.5√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）
3、当E在BD上时,有：AD＝0.5√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）
4、当E在DB的延长线上时,有：AD＝0.5√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）
5、特别地,当E与D重合时,更容易证得：AD＝0.5√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）
综上所述,对于任意的三角形,△ABC的中线长AD＝0.5√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）.
