1、在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为AC的中点,AE⊥BD于点E,延长AE交BC于点F,求证：∠ADB=∠CDF.
证明：作AG平分∠BAC,交BD于点G
∵∠BAC=90°,AE⊥BD
∴∠DAE+∠ADB=ABE+∠ADB=90°
∴ ∠ABG=∠CAF
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB=AC,∠C=∠BAG=45°
∴△BAG≌△CAF
∴AG=CF
又∵AD=CD,∠GAD=∠C =45°
∴△AGD≌△DFG
∴∠ADB=∠CDF
2、在四边形ABCD中,AB‖CD,AD‖BC,E,F是对角线AC上的两点,AE＝CF,试说明：△ABE≌△CDF BE‖DF
连接BE DF ,∵AB‖CD,AD‖BC,
∴四边形ABCD为矩形【两对边互相平行的四边形为矩形】
∴AB=CD,
∵AB‖CD,
∴AB‖CD,∠BAE=∠FCD.
在△ABE和△DFC中,AB=CD,∠BAE=∠FCD,AE=CF,
∴△ABE≌△CDF.
∵△ABE≌△CDF,
∴∠AEB=∠CFD.
∵∠AEB＋∠BEF=180°,∠CFD＋∠AFD=180°【平角定义】,
∴∠BEF=∠AFD,
∴BE‖DF 【内错角相等,两直线平行】
3、 已知,如图13－6,D是△ABC的边AB
上一点, DF交AC于点E, DE=FE, FC‖AB,
求证：AD=CF．
提示：由ASA或AAS,证明△ADE≌△CFE
4、△ABC是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证：∠ADC＝∠BDE．
过B点作BH⊥BC交CE的延长线于H点．
∵∠CAD＋∠ACF＝90°,∠BCH＋∠ACF＝90°,
∴∠CAD＝∠BCH．在△ACD与△CBH中,
∵∠CAD＝∠BCH,AC＝CB,∠ACD＝∠CBH＝90°,
∴△ACD≌△CBH．∴∠ADC＝∠H ① CD＝BH,
∵CD＝BD,∴BD＝BH．
∵△ABC是等腰直角三角形,∠CBA＝∠HBE＝45°
∴在△BED和BEH中, ,∴△BED≌△BEH．
∴∠BDE＝∠H, ② 由①②得,∠ADC＝∠BDE．
