有个圆半径为1,圆外有P点,作P点与圆的两个切点,求PA向量乘PB向量的最小值?
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设PA与PO的夹角为a,则

|PA|=|PB|=1/tan(a)

y=PA.PB=|PA|*|PB|*cos(2a)

=1/[(tana)^2] *cos(2a)

=(cosa)^2/[(sina)^2] * cos2a

=[(1+cos2a)/(1-cos2a)] *cos2a

(用到(cosa)^2=(1+cos2a)/2

(sina)^2=(1-cos2a)/2

记cos2a=u.

则y=u(1+u)/(1-u)=-u-2+ 2/(1-u)

=-3+(1-u)+2/(1-u)

>=-3+2*根号{(1-u)*[2/(1-u)]}

=-3+2*根号2

以上用到算术平均与几何平均的不等式.

（1-u)为正数

即PA向量点乘PB向量的最小值为-3+2*根号2.

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