某商场向顾客发放9999张购物券,每张购物券上印有一个四位数的号码,从0001到9999号,如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和,则称这张购物券为“幸运券”.证明:这个商场所发放的购物券中,所有的幸运券的号码之和能被101整除.
“如果某个号码n是幸运券,那么号m=9999-n也是幸运券”,这是解决问题的关键,请你考虑这句话合理性.
若六位数
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81ab93 是99的倍数,求整数a、b的值.
∵
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81ab93 能被9整除,
∴8+1+a+b+9+3=21+a+b能被9整除,得3+a+b=9k l(k 1为整数).①
又∵
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81ab93 能被11整除,
∴8-1+a-b+9-3=13+a-b能被11整除,得2+a-b=11k 2(k 2为整数).②
∵0≤a,b≤9,
∴0≤a+b≤18,-9≤a-b≤9,
由①、②两式,得3≤<9k 1≤21,-7≤11k 2≤11,
知k 1=1,或k 1=2;k 2=0,或,而3+a+b与2+a-b的奇偶性相异,而k 1=2,k 2=1不符合题意.
故把k 1=1,k 2=0代入①、②两式,解方程组可求得a=2,b=4.代入所设6位数.即得到812493.
所以,这个商场所发放的购物券中,所有的幸运券的号码之和能被101整除.
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