（1）：连接EA，∵ADEF是正方形
∴G是AE的中点-------（1分）
∴在△EAB中，GH ∥ AB--（2分）
又∵AB ∥ CD，∴GH ∥ CD，--（3分）
∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE
∴GH ∥ 平面CDE----（4分）
（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，
∴FA⊥平面ABCD．-----（6分）
∵BD⊥CD，BC=2，CD=x
∴FA=2， BD=
4- x 2 （0＜x＜2）
∴S 平行四边形ABCD=CD•BD= x
4- x 2
∴ V(x)=
1
3 S 平行四边形ABCD •FA=
2
3 x
4- x 2 （0＜x＜2）--（8分）
（3）要使V（x）取得最大值，只须 x
4- x 2 =
x 2 (4- x 2 ) （0＜x＜2）取得最大值，
∵ x 2 (4- x 2 )≤(
x 2 +4- x 2
2 ) 2 =4 ，当且仅当x 2=4-x 2，即 x=
2 时 V（x）取得最大值---（10分）
解法1：在平面DBC内过点D作DM⊥BC于M，连接EM
∵BC⊥ED
∴BC⊥平面EMD
∴BC⊥EM
∴∠EMD是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角-------（12分）
∵当V（x）取得最大值时， CD=
2 ， DB=
2
∴ DM=
1
2 BC=1 ， EM=
E D 2 +D M 2 =
5
∴ sin∠EMD=
ED
EM =
2
5
5
即平面ECF与平面ABCD所成的二面角的正弦值为
2
5
5 ．-----------------（14分）
解法2：以点D为坐标原定，DC所在的直线为x轴建立空间直角
坐标系如图示，则D（0，0，0）， C(
2 ，0，0)，B(0，
2 ，0)，E(0，0，2)
∴
DE =(0，0，
2 ) ，
EC =(
2 ，0，-2) ，
EB =(0，
2 ，-2) -------（12分）
设平面ECF与平面ABCD所成的二面角为θ，
平面ECF的法向量
n =(a，b，c)
由
n ⊥
EC ，
n ⊥
EB ，得
2 a-2c=0，
2 b-2c=0
令c=1得
n =(
2 ，
2 ，1)
又∵平面ABCD的法向量为
DE
∴ cosθ=
DE •
n
|DE |•
|n| =
2
2 •
5 =
5
5
∴ sinθ=
2
5
5 ．-------（14分）
