设抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴上,

设抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴上,

已知抛物线C上横坐标为3的点到C的准线的距离等于4.求抛物线C的方程.2.设点N(3.0),过点F的直线交抛物线C于A,B两点,求|NA|·|NB|的最小值.

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抛物线C上横坐标为3的点到C的准线的距离等于4.

即有x+p/2=4,3+p/2=4,p=2

即抛物线方程是y^2=4x.

F坐标是（1,0）,则设AB方程是x=my+1.

代入得到:y^2=4my+4,y^2-4my-4=0

y1+y2=4m,y1y2=-4

x1x2=y1^2y2^2/16=1

x1+x2=m(y1+y2)+2=4m^2+2

NA^2*NB^2=[(3-x1)^2+y1^2][(3-x2)^2+y2^2]

=(9-6x1+x1^2+4x1)(9-6x2+x2^2+4x2)

=(9-2x1+x1^2)(9-2x2+x2^2)

=81-18x2+9x2^2-18x1+4x1x2-2x1x2^2+9x1^2-2x1^2x2+x1^2x2^2

=81-18(x1+x2)+9(x1^2+x2^2)+4*1-2x1x2(x1+x2)+1

=86-18(4m^2+2)+9[(4m^2+2)^2-2]

=86-72m^2-36+9(16m^4+16m^2+4)-18

=144m^4+72m^2+68

=144(m^2+1/4)^2+68-9

故当m^2=0时有最小值是：68

即NA*NB的最小值是：根号68=2根号17

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