设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上,直线x-y+1=0与此圆相交,截得弦长为2倍根号2,求圆的方程.
【(x-6)^2+(y+3)^2=52
或(x-14)^2+(y+7)^2=202】
从“对称点仍在这圆上”看出X+2Y=0经过圆心(圆心就可以设为(-2b,b))
所以可设圆的方程为(x+2b)^2+(y-b)^2=r^2
这里明显的有两个未知数:b和r
下面找两个方程:
1、A点可以带入得到一个方程(2+2b)^2+(3-b)^2=r^2
2、由(圆与直线X-Y+1=0相交的玄长为2倍根号2)看出
r^2=弦心距^2+(√2)^2
而弦心距是X-Y+1=0到点(-2b,b)的距离
于是写出这个关系:r^2=(│-2b-b+1│/√2)^2+2
即r^2=(3b-1)^2/2+2
联立方程组求解得
b1=-3,b2=-7
r1=√52,r2=√202
所以圆的方程为
(x-6)^2+(y+3)^2=52
或(x-14)^2+(y+7)^2=202
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