设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点 - 已解决

设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上,直线x-y+1=0与此圆相交,截得弦长为2倍根号2,求圆

设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上,直线x-y+1=0与此圆相交,截得弦长为2倍根号2,求圆的方程.

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【（x-6）^2+(y+3)^2=52

或（x-14）^2+(y+7)^2=202】

从“对称点仍在这圆上”看出X+2Y=0经过圆心（圆心就可以设为（-2b,b））

所以可设圆的方程为（x+2b）^2+(y-b)^2=r^2

这里明显的有两个未知数：b和r

下面找两个方程：

1、A点可以带入得到一个方程（2+2b）^2+(3-b)^2=r^2

2、由（圆与直线X-Y+1=0相交的玄长为2倍根号2）看出

r^2＝弦心距^2＋（√2）^2

而弦心距是X-Y+1=0到点（-2b,b）的距离

于是写出这个关系：r^2＝(│-2b-b+1│/√2)^2+2

即r^2＝（3b-1）^2/2+2

联立方程组求解得

b1=-3,b2=-7

r1=√52,r2=√202

所以圆的方程为

（x-6）^2+(y+3)^2=52

或（x-14）^2+(y+7)^2=202

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1、已知圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0的相交弦为2根号2,求该圆的方

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