1、P是抛物线y²=4x的点 则点P到直线4x+3y+15=0的距离最小值是多少?

设点P到直线的距离为d

设点P的坐标为（y²/4,y）

代入距离公式

d=｜y²+3y+15｜/√（4²+3²）=｜（y+3/2）²+51/4｜/5

很明显,y=-3/2时,y²+3y+15有最小值是51/4所以点P到直线的距离最小值是51/20

2、在直角坐标系中,抛物线y=ax²＋bx＋c与x轴交于a,b两点,（点a在点b左侧）,与y轴交于点c,点a（－3,0）点c（0,3）,且抛物线对称轴是x=－2（1）若p是线段ac上一点,设△abp,△bpc的面积分别为s△abp,s△bpc,且s△abp比s△bpc=2比3,求p坐标（2）设圆心q半径为1,圆心q在抛物线上运动,则在运动过程中手否存在圆心q与y轴相切的情况,求q的坐标

（1）根据题意

对称轴x=-2

那么点b的坐标是（-1,0）

s△abp比s△bpc=2比3

因为s△abp和s△bpc是不同底而等高

也就是说ap：pc=2：3

oa²+oc²=ac²

ac=3√2

oa=oc,所以角oac是45度

那么点p到y轴距离=ac×3/5×cos角oac=3√2×3/5×√2/2=9/5

点p到x轴距离=ac×2/5×sin角oac=3√2×2/5×√2/2=6/5

所以点p的坐标是（-9/5,6/5）

（2）根据题意设抛物线解析式为y=ax²+bx+3

将（-3,0）（-2,0）代入

9a-3b+3=0

4a-2b+3=0

解得

a=1/2,b=-5/2

y=1/2x²-5/2x+3

如果存在q点,那么也就是说点q的距离到y轴=1

也就是当x=1或-1的时候

x=-1,y=0

x=1,y=5

q（-1,0）或（1,5）

3、直线y=-x+6与x轴交于点A,与y轴交与点B,以线段AB为直径作圆C,抛物线y=ax的平方+bx+c过A,C,O三点. 1、求点C的坐标和抛物线的解析式.2.过点B作直线与x轴交于点D,且OB的平方=OA*OD,求证DB是圆C的切线.3.抛物线上是否存在一点P,使以P,O,C,A为顶点的四边形为直角梯形,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.

如图

1、令x=0和y=0分别求出点A和B的坐标

点A（6,0）,B（0,6）

圆心C的坐标为（3,3）

设抛物线的方程为y=ax²+bx

将（3,3）和（6,0）分别代入

9a+3b=3

36a+6b=0

解得

a=-1/3,b=2

抛物线的解析式为y=-1/3x²+2x

2、设点D的坐标为（x,0）

｜OB｜=6,｜OD｜=｜x｜,｜OA｜=6

根据题意

36=｜x｜×6

x=-6或6（舍去）

点D的坐标为（-6,0）

｜AD｜=12,｜AB｜=6√2,｜BD｜=6√2

｜AB｜²+｜BD｜²=｜AD｜²

所以∠ABD=90度

BD是圆C的切线

3、存在一点P

｜OA｜=6,｜OC｜=3√2,｜AC｜=3√2

｜OC｜²+｜AC｜²=｜OA｜²

所以∠OCA=90度

过点A作OC的平行线交抛物线于点P,交y轴于点E,点P即为所求

由题意可知

BD∥OC∥AP,且C为AB中点

所以点O为BE中点,点E的坐标为 （0,-6）

直线AP和直线AB垂直,所以直线AP的斜率是1

直线AP的方程为y=x-6

联立

y=x-6（1）

y=-1/3x²+2x（2）

（1）代入（2）

x-6=-1/3x²+2x

化简

x²-3x-18=0

（x-6）（x+3）=0

x=-3或x=6（舍去,此时为点A坐标）

x=-3时,y=-9

所以点P的坐标为（-3,-9）

4、已知点P是函数y=1/2x（x>0）图像上的一点,PA⊥x轴于点A,交函数Y=1/x(x>0)图像于点M ,PB⊥y轴于点B,交函数y=1/x(x>0)于点N（点MN不重合）

（1）当点P的横坐标为2时,求△PMN的面积；

（2）证明：MN‖AB；（如图7）

（3）试问：△OMN能否为直角三角形?若能,请求出此时点P的坐标；若不能,请说明理由.

（1）点P横的坐标是2,那么纵坐标是1

点P（2,1）,A（2,0）,B（0,1）

将x=2代入y=1/x,y=1/2,那么点M的坐标（2,1/2）

将y=1代入y=1/x,x=1,那么点N的坐标为（1,1）

PM=1-1/2=1/2

PN=2-1=1

S△PMN=1/2×PM×PN=1/2×1/2×1=1/4

（2）

直线AB的斜率=（0-1）/（2-0）=-1/2

直线MN的斜率=（1/2-1）/（2-1）=-1/2

二者斜率相等

那么AB‖MN

（3）设点P的坐标为（2a,a）

则点M的坐标为（2a,1/2a）点N的坐标为（1/a,a）

直线AB的斜率是-1/2,∠MON明显不是直角

与直线AB垂直的直线方程是y=2x

y=2x

y=1/x

联立

x²=1/2

x=√2/2或-√2/2（舍去）

y=√2

点N的坐标就是（√2/2,√2）

点P的纵坐标就是√2,横坐标就是2√2

此时点M的坐标就是（2√2,√2/4）

此时ON垂直MN,三角形OMN是直角三角形

点P的坐标是（2√2.,√2）

5、知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交与A、B两点,与y轴交与点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=－2.

（1）求此抛物线的表达式

（2）连接AC、BC、,若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合）,过点E做EF//AC交与点F,连接CE,设AE的长为m,⊿CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围；

（3）在（2）的基础上说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此点E的坐标,判断此时⊿BCE的形状;若不存在,请说明理由.

（1）方程x²-10x+16=0

（x-2）（x-8）=0

x=2或x=8

那么OB=2,OC=8

点B的坐标为（2,0）,点C（0,8）

设抛物线为y=a（x+2）²+b

代入

16a+b=0（1）

4a+b=8（2）

（1）-（2）

12a=-8

a=-2/3

b=32/3

抛物线方程为y=-2/3（x+2）²+32/3=-2/3x²-8/3x+8

（2）点A的坐标为（-6,0）关于x=-2和点B对称

点E的坐标为（m-6,0）

直线AC的斜率=8/6=4/3

那么EF的斜率=4/3

直线BC的方程为x/2+y/8=1

4x+y=8

设直线EF的方程为y=4/3x+b

将点E代入

0=4/3（m-6）+b

b=8-4/3m

直线EF的方程为y=4/3x+8-4/3m

与4x+y=8求出交点（m/4,8-m）

S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BFE

=1/2×8×8-1/2×m×8-1/2×（8-m）×（8-m）

=-1/2（m-8）²-4m+32

=-1/2m²+8m-32-4m+32

=-1/2m²+4m

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