如图1 ,在正方形ABCD 中,点M 、N 分别在AD 、CD 上,若∠MBN=45°,易证MN=AM+CN
⑴如图2 ,在梯形ABCD 中,BC ∥AD ,AB=BC=CD ,点M 、N 分别在AD 、CD 上,若∠MBN=
∠ABC ,试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系?请写出猜想,并给予证明.
⑵如图3 ,在四边形ABCD 中,AB=BC ,∠ABC+ ∠ADC=180°,点M 、N 分别在DA 、CD 的延长线上,若∠MBN=
∠ABC,试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系?请直接写出猜想,不需证明.
(1 )图2 , 猜想:MN=AM+CN
证明: 延长 NC至点F ,使 CF= AM,连接BF
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴∠DAB=∠ADC
又∵AD ∥CB
∴∠ADC = ∠BCF
∴∠BCF= ∠DAB
又∵AB=BCAM=CF
∴△AMB ≌△CFB
∴∠2= ∠3BM=BF
∵∠MBN=
∠ABC
∴∠1+∠2=∠MBN
∴∠1+∠3=∠MBN
即∠MBN=∠NBF
又∵BN=BN BM=BF
∴△MBN≌△FBN
∴ MN=NF
∵NF=NC+CF
∴MN=AM+CN
(2 )图3 猜想:MN=CN-AM
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