设f（x）=limt→∞(t+xt+2x)t，（x≥0）
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解题思路：（1）首先计算函数极限，得到f（x）的表达式，然后利用旋转体的体积计算公式进行计算；（2）先计算函数的切线方程，然后计算切线与两坐标轴所夹面积的表达式，最后求函数表达式的最大值即可．
（1）当x≠0时，
f（x）=
lim
t→∞(
t+x
t+2x)t=
lim
t→∞(1−
x
t+2x)−
t+2x
x•(−
tx
t+2x)=e−
lim
t→∞
tx
t+2x=e-x；
当x=0时，f（x）=1=e0，
所以，f（x）=e-x．
因此，所求旋转体的体积为：
V=
∫102πf(x)dx=2π
∫10e−xdx=2π（1-e-1）．
（2）对于y=f（x）上任意一点P（t，e-t），
过点P的切线斜率为：k=f′（t）=e-t，
切线方程为：
y-e-t=-e-t（x-t），
与两坐标轴的交点分别为：（0，（1+t）e-t），（0，t+1），
因此切线与两坐标轴所夹平面图形的面积为：
1
2|t+1|×|t+1|e−t=
1
2(t+1)2e−t．
设f（t）=
1
2(t+1)2e−t，
则f′（t）=
1
2(1−t)(1+t)e−t，f″（t）=
1
2(t2−2t−1)e−t，
令f′（t）=0可得，t=±1．
又因为f″（1）=-e-1＜0，f″（-1）=e＞0，
所以f（t）在t=1处取得极大值．
由实际意义可得，f（t）在t=1处取得最大值．
从而，所求的点为：（1，e-1）．
点评：
本题考点： 空间曲线的切线与法平面；旋转体的体积及侧面积的计算．
考点点评： 本题的综合性较强，考查了复合函数极限的计算、旋转体的体积计算、曲线的切线方程的计算以及函数最值的计算，难度系数适中，需要仔细分析与计算．
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