抛物线y 2 =4px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点．
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（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y 2=4px．
得k 2x 2+（2k 2p-4p）x+k 2p 2=0．
△=4（k 2p-2p） 2-4k 2•k 2p 2＞0，
得0＜k 2＜1．
令A（x 1，y 1）、B（x 2，y 2），则x 1+x 2=-
2 k 2 p-4p
k 2 ，y 1+y 2=k（x 1+x 2+2p）=
4p
k ，
AB中点坐标为（
2P- k 2 P
k 2 ，
2p
k ）．
AB垂直平分线为y-
2p
k =-
1
k （x-
2P- k 2 P
k 2 ）．
令y=0，得x 0=
k 2 P+2P
k 2 =p+
2P
k 2 ．
由上可知0＜k 2＜1，∴x 0＞p+2p=3p．
∴x 0＞3p．
（2）∵l的斜率依次为p，p 2，p 3，时，AB中垂线与x轴交点依次为N 1，N 2，N 3，（0＜p＜1）．
∴点N n的坐标为（p+
2
p 2n-1 ，0）．
|N nN n+1|=|（p+
2
p 2n-1 ）-（p+
2
p 2n+1 ）|=
2(1- p 2 )
p 2n+1 ，
1
| N n N n+1 | =
p 2n+1
2(1- p 2 ) ，
所求的值为
1
2(1- p 2 ) [p 3+p 4++p 21]=
p 3 (1- p 19 )
2 (1-p) 2 (1+p) ．
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