关于圆的数学证明题如图所示,在半圆O的直径AB上任取一点E,以A为圆心,AE为半径画弧交半圆于C,以B为圆心,以BE为半

关于圆的数学证明题

如图所示,在半圆O的直径AB上任取一点E,以A为圆心,AE为半径画弧交半圆于C,以B为圆心,以BE为半径画弧交半圆于D,连接CD,找到CD的中点P,连接PE,证明,PE为⊙A和⊙B的公切线

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连结AC,AD,BC,BD,并且分别过点C,D作CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F

∴CE‖DF,∠AEC=90°,∠BFE=90°．

∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=∠ADB=90°．

又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角,

∴△ACB∽△AEC,

∴AC：AB=AE：AC

即PA2=AC2=AE•AB,

同理PB²=BD²=BF•AB．

两式相减可得PA²-PB²=AB（AE-BF）,

∴PA²-PB²=（PA+PB）（PA-PB）=AB（PA-PB）,

∴AE-BF=PA-PB,即PA-AE=PB-BF,

∴PE=PF,

∴点P是线段EF的中点．

∵M是CD的中点,

∴MP是直角梯形CDEF的中位线,

∴MP⊥AB,

∴MP分别与⊙A和⊙B相切．

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