设A为n阶实对称矩阵，秩（A）=n，Aij是A=（aij）n×ij中元素aij的代数余子式（i，j=1，2，…，n），二

设A为n阶实对称矩阵，秩（A）=n，Aij是A=（aij）n×ij中元素aij的代数余子式（i，j=1，2，…，n），二次型

f（x1，x2，…，xn）=

n

i＝1

n

j＝1

A

ij

A

xixj．

（1）记A=（x1，x2，…，xn），把f（x1，x2，…，xn）=

n

i＝1

n

j＝1

A

ij

A

xixj写成矩阵形式，并证明二次型f（X）的矩阵为A-1；

（2）二次型g（X）=XTAX与f（X）的规范形是否相同？说明理由．

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1个回答

解题思路：（1）解这一问时要读懂题意，认真写出二次型的矩阵形式即可．

（2）二次型的规范性要相同，则是他们要合同，因此可以进行证明．

（1）

二次型f（x1，x2，…，xn）的矩阵形式为：

f（x）=（x1，x2，..，xn）

1

.

A.

A11A21…An1

A12A22…An2

⋮⋮ ⋮

A1NA2N…Ann

x1

x2

⋮

xn，

因秩（A）=n，所以A可逆，

并且A−1＝

1

.

A

点评：

本题考点： 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；线性方程组的矩阵形式和向量形式；二次型的规范形．

考点点评： 本题主要考查实对称矩阵的特征值和特征向量，同时也考查了二次型的矩阵形式和规范型．再遇到类似要证明有相同规范型的题目，他们一定是合同的，属于简单题．

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