因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等.

⑴提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.

如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.

具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式,多项式的次数取最低的.

如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数.提出“-”号时,多项式的各项都要变号.

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)．

⑵运用公式法

如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫运用公式法.

平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；

立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；

完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．

其余公式请参看上边的图片.

例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2(参看右图)．

二非常规方法

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⑶分组分解法

把一个多项式适当分组后,再进行分解因式的方法叫做分组分解法.

用分组分解法时,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此选择合理选择分组的方法,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.

例如：m^2+5n-mn-5m=m^2-5m -mn+5n

= (m^2 -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)．

⑷拆项、补项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.

例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)．

也可以参看右图.

⑸配方法

对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.

例如：x^2+3x-40

=x^2+3x+2.25-42.25

=(x+1.5)^2-(6.5)^2

=(x+8)(x-5)．

也可以参看右图.

⑹十字相乘法

这种方法有两种情况.

①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．

②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

如果如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．

图示如下：

·a b

· ×

·c d

例如：因为

·1 -3

· ×

·7 2

且2-21=-19,

所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．

多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式；

②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式,再看能否套公式.十字相乘试一试,分组分解要合适.”

几道例题

1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．

原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．

也可以参看右图.

2．求证：对于任何实数x,y,下式的值都不会为33：

x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5．

原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．

（分解因式的过程也可以参看右图.）

当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立.

3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求证：这个三角形是等腰三角形.

分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解.

证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0,

∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．

∴(a-c)(a+2b+c)=0．

∵a、b、c是△abc的三条边,

∴a＋2b＋c＞0．

∴a－c＝0,

即a＝c,△abc为等腰三角形.

4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式.

-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)

=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．

也可以参看右图.

三特殊方法

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⑺应用因式定理

对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a．

例如：f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x^2+5x+6的一个因式.(事实上,x^2+5x+6=(x+2)(x+3)．)

⑻换元法

有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法.

例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时,可以令y=x^2+x,则

原式=(y+1)(y+2)-12

=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10

=(y+5)(y-2)

=(x^2+x+5)(x^2+x-2)

=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．

也可以参看右图.

⑼求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．

例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0,

则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 ,-3,-2,1．

所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．

⑽图象法

令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．

与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确.

例如在分解x^3 +2x^2 -5x-6时,可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.

作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2

则x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．

⑾主元法

先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.

⑿特殊值法

将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.

例如在分解x^3+9x^2+23x+15时,令x=2,则

x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105,

将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 ．

注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值,

则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此.

⒀待定系数法

首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.

例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时,由分析可知：这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.

于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd

由此可得a+c=-1,

ac+b+d=-5,

ad+bc=-6,

bd=-4．

解得a=1,b=1,c=-2,d=-4．

则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．

也可以参看右图.

⒁双十字相乘法

双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法.用一道例题来说明如何使用.

例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．

分析：这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解.

x 2y 2

① ② ③

x 3y 6

∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．

双十字相乘法其步骤为：

①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；

②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项.如十字相乘图②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6)；

③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验