（2013•河西区二模）如图△ADE可由△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，点A、B、C的坐标分别为（

（2013•河西区二模）如图△ADE可由△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，点A、B、C的坐标分别为（1，0）（3，0）（1，4）．

（Ⅰ）写出点E和旋转中心Q的坐标；

（Ⅱ）将△ADE沿垂直于x轴的线段PT折叠（点T在x轴上，点P在AE上，P与A、E不重合），使点A落在x轴上，点A的对应点为点F，是否存在这样的点T，使得△PEF为直角三角形？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

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解题思路：（1）根据旋转前、后的图形全等，可知△ABC≌△DEA，则AB=DE=2，AC=DA=4，由此求出点E的坐标；根据对应点到旋转中心的距离相等可知旋转中心Q既在线段AD的垂直平分线上，又在线段AC的垂直平分线上，求出线段AD与线段AC的垂直平分线，它们的交点即为Q，故可得出Q点的坐标；

（2）由于tan∠EAD=[1/2]，所以∠EAD≠45°，∠APT≠45°，∠APF≠90°，则∠EPF≠90°，当△PEF为直角三角形时，分两种情况进行讨论：（i）当△PFE以点E为直角顶点时，作EF⊥AE交x轴于F，由△AED∽△EFD，根据相似三角形对应边的边相等列出比例式，即可求解；（ii）当△P′F′E以点F′为直角顶点时，由△AED∽△EF′D，根据相似三角形对应边的边相等列出比例式，即可求解．

（I）∵Rt△ADE可由Rt△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，

∴△ADE≌△CAB，

∴AD=CA=4，DE=AB=2，

∴OD=OA+AD=1+4=5，

∴E点坐标为（5，2）；

∵A（1，0），B（3，0），C（1，4），

∴AC=4，

∴D（5，0），

∴线段AD的垂直平分线为x=[1+5/2]=3，线段AC的垂直平分线为y=2，

∴Q（3，2）；

（II）存在这样的点T（[7/2]，0）和（[5/2]，0），能够使得△PEF为直角三角形．

分两种情况：

（i）当△PFE以点E为直角顶点时，如图1，作EF⊥AE交x轴于F．

∵△AED∽△EFD，

∴[DF/DE]=[ED/AD]=[1/2]，

∴DF=[1/2]DE=1，

∴点F（6，0），

∴点T（[7/2]，0）；

（ii）当△P′F′E以点F′为直角顶点时，如图．

∵△AED∽△EF′D，

∴[DF′/DE]=[DE/AD]=[1/2]，

∴DF′=[1/2]DE=1，

∴点F′（4，0），

∴点T（[5/2]，0）．

综上（i）、（ii）知，满足条件的点T坐标为（[7/2]，0）和（[5/2]，0）．

点评：

本题考点： 几何变换综合题．

考点点评： 本题考查的是几何变换综合题，涉及到旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．

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