求求极限的简单方法.

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一、利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则,法则本身很简单,但为了能够使用这些法则,往往需要先对函数做某些恒等变形或化简,采用怎样的变形和化简,要根据具体的算式确定,常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换.例 1. 2. 二、利用两个重要极限两个重要极限为：或使用它们求极限时,最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形,使之具有相应的形式,有时也可通过变量替换使问题简化.例 1. 2. 三、利用夹逼准则求极限关键在于选用合适的不等式.例 1. 2. 设,且求四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性,再求解方程可求出极限.例1. 设,求极限.五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小.用等价无穷小替换求极限常常行之有效.例 1. 2. 六、利用函数连续性求极限设在点处连续,则.例 1. 2. 七、利用洛必达法则求极限洛必达法则对求未定式的极限而言,是一种简便而又有效的方法,前面出现的许多极限都可以使用此法则.使用时,注意适当地化简、换元,并与前面的其他方法结合使用,可极大的简化运算.例 1. 2. 3. 八、利用麦克劳林展式或泰勒展式求极限设函数在的某个邻域内有定义,且存在,则对该邻域内任意点有如下表示式成立此式称为的具有皮亚诺余项的阶麦克劳林展式,对某些教复杂的求极限问题,可利用麦克劳林展式加以解决.必须熟悉一些常用的展式,如：计算过程中,要注意高阶无穷小的运算及处理.例九、利用定积分定义及性质求极限若遇到某些求和式极限问题,能够将其表示为某个可积函数的积分和,就能用定积分来求极限,关键在于根据所给和式确定被积函数以及积分区间.例 1. 2. 十、利用级数收敛的必要条件求极限级数收敛的必要条件是：若级数收敛,则,故对某些极限,可将函数作为级数的一般项,只须证明此技术收敛,便有.例十一、利用幂级数的和函数求极限当数列本身就是某个级数的部分和数列时,求该数列的极限就成了求相应级数的和,此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数,有时为Fourier级数）.使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值.例求