额 别用牛顿-莱…… 公式 就是分割 近似替代 求和 取极限
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就是求∫(1→2)(x+1/x)dx=∫(1→2)xdx+∫(1→2)dx/x
这2个东西都是存在的对吧?（我可不想再证明它们存在.）所以就可以按照下面的做法直接算积分.
第一部分里,把[1,2]分为[1,1+1/n],[1+1/n,1+2/n],...,[1+(n-1)/n,1+n/n]
这样∫(1→2)xdx=lim(n→∞)1/n*∑(i=1→n)(1+i/n)
=lim(n→∞)1/n*(n+n(n+1)/2*1/n))
=lim(n→∞)1+(n+1)/(2n)
=3/2
第二部分里,把[1,2]分为[2^0,2^(1/n)],[2^(1/n),2^(2/n)],...,[2^((n-1)/n),2^(n/n)]
这样∫(1→2)dx/x=lim(n→∞)∑(i=1→n)2^(-(i-1)/n)*(2^(i/n)-2^((i-1)/n)
=lim(n→∞)∑(i=1→n)(2^(1/n)-1)
=lim(n→∞)n(2^(1/n)-1)
=lim(t→0)(2^t-1)/t (t=1/n)
=lim(t→0)(e^(tln2)-1)/(tln2)*ln2
=ln2
所以面积=3/2+ln2
