椭圆的快速画法?椭圆周长如何计算?
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椭圆周长的计算不像圆周长那样有简单有限的表达式
因为那是一个椭圆积分,只能有近似计算
椭圆周长L公式推导如下
设s是弧长,a、b、c、e分别是椭圆的长、短半轴、半焦距、离心率
根据两点间距离公式有
ds^2=dx^2+dy^2
使用椭圆的参数方程
x=a*cost
y=b*sint
得
dx=-a*sint*dt
dy=b*cost*dt
代入得
ds^2=(a^2*cos^2t+b^2*sin^2t)*dt^2
代入cos^2t=1-sin^2t
ds^2=(a^2+(b^2-a^2)*sin^2t)*dt^2
=(a^2-c^2*sin^2t)*dt^2
代入c=e*a
ds^2=a^2*(1-e^2*sin^2t)*dt^2
ds=a*√(1-e^2*sin^2t)*dt
积分
L=a*∫[0,2π]√(1-e^2*sin^2t)*dt
=4*a*∫[0,π/2]√(1-e^2*sin^2t)*dt
这就是椭圆的周长计算公式
其中 E(e,π/2)=∫[0,π/2]√(1-e^2*sin^2t)*dt
就是第二类椭圆积分,有级数表达式
E(e,π/2)=π/2*(1-(1/2)^2*e^2-(1*3/2/4)^2*e^4/3-(1*3*5/2/4/6)^2*e^6/5-...)
近似公式很多：
近似 L=√(4abπ^2+15(a-b)^2)(1+MN)(M=4/√15-1、N=((a-b)/a)^9)
近似 L=πQ(1+3h/(10+√(4-3h))(1+MN)(Q=a+b、h=((a-b)/(a+b))^2、M=22/7π-1、N=((a-b)/a)^33.697)
