数学定理

三角形三条边的关系

定理：三角形两边的和大于第三边

推论：三角形两边的差小于第三边

三角形内角和

三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

推论1 直角三角形的两个锐角互余

推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

推论3 三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角

角的平分线

性质定理 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

几何语言：

∵OC是∠AOB的角平分线（或者∠AOC＝∠BOC）

PE⊥OA,PF⊥OB

点P在OC上

∴PE＝PF（角平分线性质定理）

判定定理 到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上

几何语言：

∵PE⊥OA,PF⊥OB

PE＝PF

∴点P在∠AOB的角平分线上（角平分线判定定理）

等腰三角形的性质

等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等

几何语言：

∵AB＝AC

∴∠B＝∠C（等边对等角）

推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

几何语言：

（1）∵AB＝AC,BD＝DC

∴∠1＝∠2,AD⊥BC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）

（2）∵AB＝AC,∠1＝∠2

∴AD⊥BC,BD＝DC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）

（3）∵AB＝AC,AD⊥BC

∴∠1＝∠2,BD＝DC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）

推论2 等边三角形的各角都相等,并且每一个角等于60°

几何语言：

∵AB＝AC＝BC

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°（等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°）

等腰三角形的判定

判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等

几何语言：

∵∠B＝∠C

∴AB＝AC（等角对等边）

推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

几何语言：

∵∠A＝∠B＝∠C

∴AB＝AC＝BC（三个角都相等的三角形是等边三角形）

推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

几何语言：

∵AB＝AC,∠A＝60°（∠B＝60°或者∠C＝60°）

∴AB＝AC＝BC（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）

推论3 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半

几何语言：

∵∠C＝90°,∠B＝30°

∴BC＝ AB或者AB＝2BC（在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半）

线段的垂直平分线

定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

几何语言：

∵MN⊥AB于C,AB＝BC,（MN垂直平分AB）

点P为MN上任一点

∴PA＝PB（线段垂直平分线性质）

逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

几何语言：

∵PA＝PB

∴点P在线段AB的垂直平分线上（线段垂直平分线判定）

轴对称和轴对称图形

定理1 关于某条之间对称的两个图形是全等形

定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

定理3 两个图形关于某直线对称,若它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上

逆定理 若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那这两个图形关于这条直线对称

勾股定理

勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和,等于斜边c的平方,即

a2 ＋ b2 ＝ c2

勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系,那么这个三角形是直角三角形

四边形

定理 任意四边形的内角和等于360°

多边形内角和

定理 多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n － 2）·180°

推论 任意多边形的外角和等于360°

平行四边形及其性质

性质定理1 平行四边形的对角相等

性质定理2 平行四边形的对边相等

推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

几何语言：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD‖BC,AB‖CD（平行四边形的对角相等）

∠A＝∠C,∠B＝∠D（平行四边形的对边相等）

AO＝CO,BO＝DO（平行四边形的对角线互相平分）

平行四边形的判定

判定定理1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD‖BC,AB‖CD

∴四边形ABCD是平行四边形

（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵∠A＝∠C,∠B＝∠D

∴四边形ABCD是平行四边形

（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）

判定定理3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD＝BC,AB＝CD

∴四边形ABCD是平行四边形

（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AO＝CO,BO＝DO

∴四边形ABCD是平行四边形

（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

判定定理5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD‖BC,AD＝BC

∴四边形ABCD是平行四边形

（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

矩形

性质定理1 矩形的四个角都是直角

性质定理2 矩形的对角线相等

几何语言：

∵四边形ABCD是矩形

∴AC＝BD（矩形的对角线相等）

∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°（矩形的四个角都是直角）

推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

几何语言：

∵△ABC为直角三角形,AO＝OC

∴BO＝ AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

几何语言：

∵∠A＝∠B＝∠C＝90°

∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）

判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

几何语言：

∵AC＝BD

∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）

菱形

性质定理1 菱形的四条边都相等

性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角

几何语言：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB＝BC＝CD＝AD（菱形的四条边都相等）

AC⊥BD,AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ABC和∠ADC

（菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角）

判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

几何语言：

∵AB＝BC＝CD＝AD

∴四边形ABCD是菱形（四边都相等的四边形是菱形）

判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

几何语言：

∵AC⊥BD,AO＝CO,BO＝DO

∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）

正方形

性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等

性质定理2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角

中心对称和中心对称图形

定理1 关于中心对称的两个图形是全等形