如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D - 已解决

如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．

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解题思路：（1）由△ABC与△DCE是等边三角形，可得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，又由∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，即可证得∠ACD=∠BCE，所以根据SAS即可证得△ACD≌△BCE；

（2）首先过点C作CH⊥BQ于H，由等边三角形的性质，即可求得∠DAC=30°，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．

（1）证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形，

∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）过点C作CH⊥BQ于H，

∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，

∴∠DAC=30°，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠PBC=∠DAC=30°，

∴在Rt△BHC中，CH=[1/2]BC=[1/2]×8=4，

∵PC=CQ=5，CH=4，

∴PH=QH=3，

∴PQ=6．

点评：

本题考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

考点点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形、等边三角形以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．

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