椭圆与直线问题1,已知椭圆x^2／16+y^2／9=1,求点P（2,1）为中点时所在的直线方程2,已知直线过p（0,2）

椭圆与直线问题

1,已知椭圆x^2／16+y^2／9=1,求点P（2,1）为中点时所在的直线方程

2,已知直线过p（0,2）且被圆x^2+y^2=4截得的弦长为2,求直线方程

3,求圆心在直线y=-2x上,且与直线y=1-x相切与点P（2,-1）的圆的方程

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1.设所求直线与椭圆的两个交点是A(x1,y1),B(x2,y2),

则有(x1)²/16+(y1)²/9=1,(x2)²/16+(y2)²/9=1,

两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)/16+(y1+y2)(y1-y2)/9=0,

∵点P(2,1)是AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式,

得(x1-x2)/4+2(y1-y2)/9=0,

∴(y1-y2)/(x1-x2)=-9/8,即直线AB的斜率是-9/8,

故直线AB的方程是y-1=(-9/8)(x-2),即9x+8y-26=0.

2.设过点P(0,2)的直线方程为y=kx+2,即kx-y+2=0,

圆x²+y²=4的圆心到直线的距离d=|0-0+2|/√(k²+1)=2/√(k²+1),圆半径r=2,

∵直线被圆截得的弦长为2,

∴由勾股定理得d²+(2/2)²=r²,即4/(k²+1)+1=4,解得k=±√3/3,

故所求直线方程为y=±(√3/3)x+2.

3.设所求圆的圆心为C(a,b),∵圆心在直线y=-2x上,

∴b=-2a,即C(a,-2a),

由题意,点C到切线x+y-1=0的距离=|PC|=r,

∴|a-2a-1|/√2=√[(a-2)²+(-2a+1)²],整理得a²-2a+1=0,

∴a=1,故r=√2,所求圆的方程是(x-1)²+(y+2)²=2.

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