函数y=sinx+cosx在[0,π]上的极大值为______.
1个回答

解题思路:求出原函数的导函数,由导函数等于0求出定义域内的x的值,分析导函数在各段内的符号,从而得到原函数在各段内的单调性,由单调性判出极值点,最后把极值点的横坐标代入原函数求极值.

由y=sinx+cosx,得:y=(sinx+cosx)=cosx-sinx,

再由cosx-sinx=0,得sinx=cosx,即tanx=1,因为x∈[0,π],所以x=[π/4].

所以,当x∈(0,[π/4])时,y=cosx-sinx>0,函数y=sinx+cosx为增函数,

当x∈([π/4],π)时时,y=cosx-sinx<0,函数y=sinx+cosx为,减函数,

所以,函数y=sinx+cosx在[0,π]上的极大值为f(

π

4)=sin

π

4+cos

π

4=

2

2+

2

2=

2.

故答案为

2.

点评:

本题考点: 利用导数研究函数的极值.

考点点评: 本题考查了利用导函数研究原函数的单调性,根据单调性判断函数的极值点,对于连续函数来说,函数在某一点处先增后减为极大值点,先减后增为极小值点,解答此类问题的关键是判断导函数在各分段区间内的符号,此题是中档题.