如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．

（1）证明CD⊥AE；

（2）证明PD⊥平面ABE；

（3）求二面角A-PD-C的正切值．（本小题理科学生做，文科学生不做）

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解题思路：（1）利用线面垂直的性质与判定，证明CD⊥平面PAC，即可得到结论；

（2）利用AB⊥平面PAD，证明AB⊥PD，利用AE⊥平面PCD，证明AE⊥PD，再利用线面垂直的判定即可得到结论；

（3）过E点作EM⊥PD于M点，连接AM，可得∠AME是二面角A-PD-C的平面角，从而可求二面角A-PD-C的正切值

（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD

又AC⊥CD，AC∩PA=A

∴CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE

（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB

又AD⊥AB，AD∩PA=A，∴AB⊥平面PAD，

又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD

由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形

∴AC=AB，∴PA=AC

∵E是PC中点，∴AE⊥PC

由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C，∴AE⊥平面PCD

∴AE⊥PD

又AB⊥PD，AB∩AE=A，

∴PD⊥平面ABE

（3）过E点作EM⊥PD于M点，连接AM

由（2）知AE⊥平面PCD，∴AM⊥PD，∴∠AME是二面角A-PD-C的平面角

设AC=a，则

AD＝

2

3a

∵PA=a，∴PD=

7

3a，∴AM=[PA•AD/PD]=

2

7a

在Rt△AEM中，AE=

2

2a，EM=

AM2−AE2=

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．

考点点评： 本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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