导数求函数单调性怎么求? 举些例子.
2个回答
在某个范围内,一阶导数 f'(x) > 0 ,则在该范围内 原函数 f(x) 单调递增
在某个范围内,f'(x) < 0 ,则 单调递减
在某个范围内 f'(x) = 0,则 恒定.从这个范围考察,该f'(x)=0处,为极值点或极值区域.
例如
f(x) = x^3 - x^2 - x + 1
f'(x) = 3x^2 -2x - 1 = (3x + 1)(x-1)
在 x > 1 和 x < -1/3 时,f'(x) >0,f(x) 单调递增
而在 -1/3 < x < 1 时,f'(x) < 0,f(x) 单调递减
在 x = -1/3 和 x=1 处,f'(x) = 0,为2个极值点.
f(x) 先递增、再递减,再递增.容易判断出,x = -1/3 处 是极大值点,x =1 处 是极小值点.（注意 极值 不是 最值）
另外,还可以根据 二阶导数 来判断 到底是极大值点,还是极小值点（而不是根据函数图象）
若 f'(x) = 0 ,且 f''(x) > 0 ,则 为极小值点
若 f'(x) = 0,且 f'(x) < 0,则为 极大值点.
例如
f(x) = x^3 - x^2 - x + 1
f'(x) = 3x^2 -2x - 1
f''(x) = 6x -2
x = -1/3 处,f''(-1/3) = -4 < 0,所以是极大
x = 1 处 ,f''(1) = 4 > 0,所以是极小.
